Часть 2 — здесь.

Квантовые вычисления используют явления квантовой механики, такие как суперпозиция (superposition) и спутывание (entaglement). Для слова entaglement, его русский перевод «спутывание» — не очень удачен. Скорее, это явление надо назвать «взаимосвязь», «взаимозависимость». Однако, если «спутывание» уже стало общепринятым термином, будем пользоваться им, имея в виду это уточнение.

Существуют несколько различных реализаций концепции квантовых вычислений, пока фактически в виде опытных образцов. Услуги некоторых из них уже доступны как облачные услуги.

Можно сказать, что по сравнению с традиционными компьютерами, квантовые находятся примерно на уровне первых реализаций ламповых компьютеров в средине 20 века, либо даже ранее, в виде разработанного в середине 30-х годов немецким инженером Конрадом Цузе электромеханического компьютера. Как будут выглядеть квантовые компьютеры будущего – пока никто не знает.

Однако, в настоящий момент уже существует ряд реализаций квантовых вычислений:

• Сверхпроводящий контур (IBM, Google, Quantum Circuits…)
• Захваченные ионы (ionQ)
• Кремниевые квантовые точки (Intel)
• Топологические кубиты (Microsoft, Bell Labs)
• Электронные дырки в кристаллах алмаза (Quantum Diamond Technologies).

Однако, пока не изучены теоретические основы, останавливаться подробно на технической реализации пока не будем.  

Кубиты и суперпозиция

Начнем с основ. Квантовая информация – это данные о квантовых состояниях, которые используются для исследования вычислительных операций. Квантовая информация обрабатывается в виде кубитов. Они могут быть представлены как аналоги битов в обычных компьютерах, и в квантовых компьютерах они также выполняют роль элементарных носители информации.

Кубит может быть представлен в виде вектора в двумерном гильбертовом пространстве (см. рис. 1-4 в предыдущей публикации). Традиционный бит имеет только два состояния (0 и 1). Кубит имеет также два основных состояния |0⟩ и |1⟩. Такие скобки, как уже указывалось ранее, означают вектор (нотация Дирака).

Векторы кубита в двумерном гильбертовом представлены в виде 2-размерных матриц:

Это базовые состояния кубита. Ранее уже отмечалось, что квантовые состояния могут быть зафиксированы как функции вероятности, а также как векторы состояния.

Кубит может находиться в состоянии суперпозиции, то есть, одновременно в нескольких состояниях. Суперпозиция, как возможность нахождения во многих состояниях одновременно – это базовое понятие квантовых вычислений. И главное отличие от традиционных двоичных компьютеров, где состояния могут быть однозначно определены только как 0 или 1. А в квантовых вычислениях возможно и такое, что кубит может находиться в состоянии |0⟩ с вероятностью, скажем, 0.9, и в состоянии |1⟩ с вероятностью 0.1. Из теории вероятностей известно, что сумма вероятностей нахождения системы в конечном наборе состояний всегда равна 1 (или 100%). Если сумма вероятностей меньше, это значит, какие-то состояния не учтены.

Суперпозиция – это основной инструмент операций в квантовом компьютере, именно она обеспечивает экспоненциальный рост мощности вычислений в нём. Суперпозиция кубита может быть представлена вероятностной функцией |ψ⟩, которая зависит от амплитуды кубита в гильбертовом пространстве α и β.

Таким образом, мы может представить кубит как линейную комбинацию векторов |0⟩ и |1⟩. Коэффициенты α и β представляют собой амплитуды вероятностей нахождения вектора кубита в определённых локациях. В общем они случае являются комплексными числами. При измерении кубитов, они подчиняются правилу Борна:

|α|² + |β|² = 1

То есть, сумма квадратов абсолютных значений возможных вероятностей равна единице, или 100%, как это и следует из обычной логики.

Чтобы визуально представить себе кубит, воспользуемся т.н. сферой Блоха.

(Bloch Sphere, не путать с «блогосферой», это физик Феликс Блох. И кстати, уж не эта ли сфера послужила источников айтишного мема «сферический конь в вакууме»?).

На ней представлена волновая функция

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩.

Поскольку коэффициенты α и β – комплексные числа, то их можно представить в полярной системе координат:

α = r₀e^iϕ0 и β = r₁e^iϕ1 ,

где r₀ и r₁ – вещественные числа (real), а ϕ₀ и ϕ₁ – углы.

При подстановке в волновую функцию, получаем:

|ψ⟩ = r₀e^iϕ0 |0⟩ + r₁e^iϕ1 |1⟩.

Из теории следует, что волновые функции, отличающиеся друг от друга домножением на комплексное число вида e^iх – неотличимы. Домножим |ψ⟩ на комплексное число e^-iϕ0:

|ψ⟩ = e^-iϕ0|ψ⟩ = e^-iϕ0 (r₀e^iϕ0 |0⟩ + r₁e^iϕ1 |1⟩) = r₀|0⟩ + r₁e^{i(ϕ1— ϕ0 )}|1⟩.

Таким образом, количество независимых вещественных параметров, необходимых для описания системы из одного кубита, может быть сокращено до трёх: вещественных чисел r₀ и r₁, и разность углов ϕ = (ϕ₁— ϕ₀), причем, ϕ лежит в диапазоне от 0 до 2π радиан.

Поскольку справедливо правило Борна: |α|² + |β|² = 1, то r₀² + r₁² = 1, поэтому эти вещественные числа можно представить как:

r₀= cos(θ/2), r₁= sin (θ/2).

Поэтому, состояние квантовой системы, состоящей из одного кубита, может быть описано с помощью только двух вещественных параметров — углов ϕ и θ.

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ +  e^iϕ|1⟩.

Углы ϕ и θ являются долготой и широтой на сфере Блоха.

Сфера Блоха является единичной двумерной сферой, каждая пара диаметрально противоположных точек которой соответствует взаимно ортогональным (т.е. разнонаправленным) векторам состояния. Условно считается, что северный и южный полюсы сферы Блоха соответствуют векторам|0⟩ и|1⟩, которые в свою очередь могут обозначать спины электрона («спин вверх» и «спин вниз»).

Важно понять, что точки на поверхности сферы соответствуют чистым состояниям квантовой системы, соответствующие единичной вероятности, в то время как точки внутри сферы представляют смешанные состояния (суперпозицию).

Квантовые регистры

В квантовом компьютере регистры – это системы из нескольких кубитов, точно так же, как в обычном компьютере в регистрах записывается набор битов. Квантовый регистр имеет размер, соответствующий числу кубитов в квантовом компьютере.

Если двоичный регистр может содержать N битов (переключателей «включено-выключено»), то квантовый регистр тоже содержать N кубитов, над которыми можно производить различные квантовые операции (о них – в следующей публикации). В упрощенной форме это можно представить так:

Отличие квантового регистра в том, что он может хранить данные в состоянии суперпозиции, т.е. в вероятностном представлении. Пространство состояний N-мерного квантового регистра – это Гильбертово пространство из 2^N квантовых состояний.

По мере увеличения числа кубитов происходит расширение Гильбертова пространства. Для регистра из двух кубитов |ψ1⟩ и |ψ2⟩ это будет выглядеть так:

|ψ⟩ = | ψ1⟩⊗|ψ2⟩ = | ψ1⟩| ψ2⟩ = |ψ1ψ2⟩, где ⊗ — тензорное произведение (произведение Кронекера) векторных пространств (матриц).

То есть, если в классическом регистре записываются биты в виде 0 и 1, над которыми можно производить математические операции в двоичной форме, то в квантовом регистре записываются кубиты, которые являются своеобразными «векторными разрядами», над которыми также можно производить операции, но уже векторные (матричные).

Квантовые вентили (Quantum gates)

В традиционных компьютерах используются электронные устройства, в виде простейших логических элементов, способных выполнять элементарные логические задачи, которые являются основой интегральных цифровых микросхем. Входя в состав современных цифровых устройств (например, компьютеров, смартфонов и пр.), они, в самых различных комбинациях, способны к реализации весьма сложных функций.

Классические логические вентили показаны на рисунке.

В квантовых вычислениях используются квантовые элементы — вентили (gates), которые выполняют основные квантовые операции. Выстраивая их композиционно, можно производить требуемые квантовые вычисления над кубитами.

В отличие от классических логических вентилей, на входы квантовых вентилей подаются не бинарные сигналы, а векторы состояний, которые состоят из кубитов.

Квантовые вентили математически представляются унитарными матрицами, в которых число кубитов, подаваемых на вход и получаемых на выходе должно быть одинаковым.

Квантовый вентиль обозначается буквой U. При выполнении операции квантового вентиля над одним квантовым состоянием, можно получить другое квантовое состояние:

U|ψ1⟩ = |ψ2⟩

Некоторые примеры квантовых вентилей показаны в таблице:

Эти и другие квантовые операции подробнее рассмотрим в следующей публикации.